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By Martin Goldstern

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E, y j−te Stelle , e, . . , e) · (e, . . , e, y y , e, . . , e)) = , e, . . , e) = j−te Stelle = ϕ(e, . . , e, y j−te Stelle , e, . . , e, i−te Stelle = ϕ((e, . . , e, , e, . . , e) = j−te Stelle x i−te Stelle = ϕ(e, . . , e, y x , e, . . , e) · ϕ(e, . . , e, j−te Stelle , e, . . , e)) = i−te Stelle x , e, . . , e) = i−te Stelle = yx. b) ⇒ a): Da ϕ bijektiv ist, muss nur mehr gezeigt werden, dass ϕ Homomorphismus ist. F¨ ur a := (a1 , . . , an ), b := (b1 , . . , bn ) ∈ U1 × · · · × Un gilt: ∗ ϕ(ab) = ϕ(a1 b1 , .

F¨ ur u ∈ U , n ∈ N ist u−1 nu ∈ u−1 N u = N . Wenn n u ¨berdies noch in u liegt, gilt −1 u nu ∈ N ∩ U . Daher gilt N ∩ U ⊳ U . 5. Sei f : G → G/N die kanonische Abbildung. Wegen U ⊆ N U ist die Identit¨at idU auf U ein Homomorphismus von U nach N U . Die Abbildung h := f ◦ idU : U → N U/N ist surjektiv auf N U/N , denn f¨ ur jede Klasse (nu)N gilt (nu)N = uN = h(u). Nach dem Homomorphiesatz (sowie seiner Folgerung) gilt also N U/N ∼ = U/kern(h). Nun ist aber kern(h) = {u ∈ U | h(u) = N } = {u ∈ U | u ∈ N } = N ∩ U .

An ) ∈ An . Dann gibt es einen (eindeutig bestimmten) Homomorphismus ϕa : T(x1 , . . , xn ) → A, der jeder Variablen xk das Element ak zuordnet. 3 Schreibweise. Wenn t ∈ T(x1 , . . , xn ) ein Term ist, schreiben wir oft statt t den Ausdruck t(x1 , . . , xn ), um zu betonen, dass in t nur die Variablen x1 , . . , xn (m¨oglicherweise aber nicht alle) vorkommen. Das Element ϕa (t) bezeichnet man dann meist mit t(a1 , . . , an ) oder t(a). 4 Definition. Sei A eine Algebra. F¨ ur jede Menge J ist die Menge AJ aller FunkJ tionen von J nach A (oder J-Tupel“) ebenfalls eine Algebra.

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